Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

9

=1與x軸交于A、B兩點，焦點為F₁、F₂．
（1）求以F₁、F₂為頂點，以A、B為焦點的雙曲線E的方程；
（2）M為雙曲線E上一點，y軸上一點P (0，

16

3

)，求|MP|取最小值時M點的坐標．

Answer 1

分析：（1）通過雙曲線方程求出焦點坐標與頂點，即可求出以F₁、F₂為頂點，以A、B為焦點的雙曲線E的方程；
（2）設出M坐標，直接利用兩點間的距離公式求出|MP|的表達式，代入雙曲線方程，直接利用二次函數求出表達式取得最小值時M點的坐標．

解答：解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
則a²=7   b²=16∴b²=9…（3分）
所求雙曲線方程：

x2

7

-

y2

9

=1…（6分）
（2）設M（x，y），
|MP|2=x2+(y-

16

3

)2=

7y2

9

+7+(y-

16

3

)2=

16

9

(y-3)2+

175

9

(y∈R)…（9分）
當y=3時，|MP|²最小，|MP|最�。�
代入方程得，M(±

14

，3)…（12分）

點評：本題是中檔題，考查雙曲線方程的應用，雙曲線才的求法，二次函數最值的求法，考查計算能力，轉化思想的應用．