Question

(

x

+

1

x

)n的展開式中各項系數和是512，則展開式中常數項是

 

．

Answer 1

分析：觀察(

x

+

1

x

)n可知，展開式中各項系數的和為512，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=512，從而得n，利用二項展開式中的第r+1項，即通項公式Tr+1=c_n^r（

x

）^n-r（

1

x

）^r，將n代入，并整理，令x的次數為0，解出r，從而得解．

解答：解：由題意得C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=512，
即2ⁿ=512，解得n=9．該二項展開式中的第r+1項為 Tr+1=

C

r 8

(

x

)9-r•(

1

x

)r=

C

r 8

•x

9-3r

2

令

9-3r

3

=0，得r=3，此時，常數項為T₄=C₉³=84．
故答案為：84．

點評：本題主要考查了二項式定理的應用，課本中的典型題目，套用公式解題時，易出現計算錯誤，二項式的考題難度相對較小，注意三基訓練．