Question

已知各項均為正數的數列滿足, 且,其中.

(1) 求數列的通項公式；

(2) 設數列滿足,是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由。

(3) 令,記數列的前項和為,其中,證明：。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）存在且，

【解析】

試題分析：

（1）利用十字相乘法分解，得到關于的遞推式，證得數學為等比數列且可以知道公比，則把公比帶入式子就可以求出首項，進而得到的通項公式.

（2）由第一問可得的通項公式帶入可的通項公式，結合成等比數列，滿足等比中項，得到關于m,n的等式，借助m,n都為正整數，利用等式兩邊的范圍求出n,m的范圍等到m,n的值.

（3）由（1）得，帶入得到，由于要得到錢n項和，故考慮把進行分離得到 ， 進而利用分組求和和裂項求和求的，觀察的單調性，可得到與都關于n單調遞減，進而得到關于n是單調遞增的，則有，再根據的非負性，即可得到，進而證明原式.

試題解析：

(1) 因為,即 1分

又,所以有,即所以數列是公比為的等比數列. 2分

由得,解得。 3分

從而，數列的通項公式為。 4分

(2)=，若成等比數列，則， 5分

即．由，可得， 6分

所以，解得：。 7分

又，且，所以，此時．

故當且僅當，.使得成等比數列。 8分

(3)

10分

∴

12分

易知遞減，∴0＜ 13分

∴，即 14分

考點：十字相乘法 等比數列 分組求和 裂項求和 不等式 單調性