Question

已知

a

=(x，

3

y)，

b

=(1，0)，(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)．
（1）求點P（x，y）的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+m（km≠0）與曲線C交于A、B兩點，D（0，-1）且|

AD

|=|

BD

|，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量垂直，代入即可求得x和y的關系式．則軌跡方程可得．
（2）設有一點D在軌跡C上運動，過點D的切線與y軸交于（0，m），m取極值時，有過點D的切線⊥AD．先看D在x軸上方設切點為
（a，b），則僅當D與A點重合時滿足條件，考慮M、N為不同的兩點，可知m的范圍；在看D在x軸上方設切點為（a，b），則切線方程可得，與y軸交點為m，進而可求得直線AD的斜率表達式，根據切線⊥AD推斷出：k₁×k₂=-1，進而求得m的范圍．最后綜合可得答案．

解答：解：（1）∵(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)
∴（x+

3

，

3

y）（x-

3

，

3

y）=0
∴x²-3+3y²=0
整理得：

x2

3

+y2=1
即點Q（x，y）的軌跡C是橢圓

x2

3

+y2=1
（2）：設有一點D在軌跡C上運動，過點D的切線與y軸交于（0，m），
m取極值時，有過點D的切線⊥AD．
①D在x軸下方
顯然僅當D與A點重合時滿足條件，考慮M、N為不同的兩點，可知m＞-1
②D在x軸上方設切點為（a，b），則有切線方程：

ax

3

+by=1，
其斜率為 k₁=-

a

3b

，與y軸交點為 m=

1

b

．
直線AD的斜率為 k₂=

(b+1)

a

由切線⊥AD：k₁×k₂=-1
即（-

a

3b

）

(b+1)

a

=-1
解得：b=

1

2

則：m=

1

b

=2
∴m≤2
綜上述：-1＜m≤2

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題的能力．