Question

【題目】已知橢圓C：（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)（）在橢圓C上，求證；直線與直線關(guān)于直線l：對(duì)稱.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，由離心率得到關(guān)系，結(jié)合，即可求解；

（2）若，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性即可得證，若，只需證明關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo)，而后證明三點(diǎn)共線，即可證明結(jié)論.

（1）解：由題意知可得，，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：若，則，

此時(shí)直線與直線關(guān)于直線l對(duì)稱.

設(shè)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，

若，則

則，，

要證直線與直線關(guān)于直線l對(duì)稱，只需證Q，P，三點(diǎn)共線，

即證，即證，

因?yàn)?/span>

，

綜上，直線與直線關(guān)于直線l對(duì)稱.