Question

某高店代銷某工廠生產的一種商品，利潤按銷售額的10%提成，經市場調查：若該商品以50元一個出售，則每月銷售量1萬個，若售價每提高2元，則銷售量在上次的基礎上下降三個百分點．設以售價為52元出售為第一次提價，以后每次提價都在原來的售價上提高2元．
（1）求第n次提價的月銷售額a_n；
（2）要使商店的月利潤最大，進行幾次提價最好？

Answer 1

分析：（1）由題意知：第n次提價的單價為50+2n，n∈N^*，第n次提價的月銷售量為1×（1-3%）ⁿ，n∈N^*，由此能求出第n次提價的月銷售額a_n．
（2）月利潤表示為：a_n•10%，要使得a_n•10%最大，只需a_n最大，則

an≥an+1 an≥an-1

，由此能求出結果．

解答：解：（1）由題意知：第n次提價的單價為
50+2n，n∈N^*，
第n次提價的月銷售量為1×（1-3%）ⁿ，n∈N^*，
∴第n次提價的月銷售額a_n=（50+2n）×（1-3%）ⁿ=（50+2n）（97%）ⁿ（萬元）．
（2）月利潤表示為：a_n•10%，
要使得a_n•10%最大，只需a_n最大，
則

an≥an+1 an≥an-1

，即

(50+2n)(97%)n≥(52+2n)(97%)n+1 (50+2n)(97%)n≥(48+2n)(97%)n-1

，
解得

22

3

≤n≤

25

3

，n∈N^*，
∴當n=8，即提價8次時月利潤最大．

點評：本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．