Question

（本題滿分14分）
在數列中，已知．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.

Answer 1

解：（1）解法1：由
可得，------------------------------3分
∴數列是首項為，公差為1等差數列，
∴， -------------------------------------------------------------------------------6分
∴數列的通項公式為．-------------------------------------------------7分
解法2：由
可得-------------------------------------------------------------------------2分
令，則--------------------------------------------------------------3分
∴當時
----5分

∴
-------------------------------------------------------------------------------------6分
∴------------------------------------------------7分
解法3：∵，---------------------------------------------------------------1分
，--------------------------------------------------------2分
．----------------------------------------------------3分
由此可猜想出數列的通項公式為．---------------------------------------4分
以下用數學歸納法證明．
①當時，，等式成立．
②假設當（）時等式成立，即，
那么
．----------------------------------------------------------------------6分
這就是說，當時等式也成立．根據①和②可知，等式對任何都成立．--------------------------------------------------------------------------------------------------------7分
（2）令，--------------------①--------------8分
　　-----------------②------9分
①式減去②式得：
，-----------------10分
∴．--------------------------------12分
∴數列的前項和．------14分

解析