Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為10．
（1）求棱A₁A的長；
（2）求點D到平面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）設A₁A=h，根據VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1求得h，則A₁A的長可得．
（2）以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．則D，A₁，B，C₁坐標可知，設平面A₁BC₁的法向量，根據

n

⊥

A1B

，

n

⊥

C1B

求得

A1B

和

C1B

，聯立方程組求得v和u，取w=2，得平面的一個法向量．在平面A₁BC₁上取點可得向量

DC1

，進而求得點D到平面A₁BC₁的距離

解答：解：（1）設A₁A=h，由題設VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=10，
得SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=10，
解得h=3．
故A₁A的長為3．
（2）以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
由已知及（1），可知D（0，0，0），A₁（2，0，3），B（2，2，0），C₁（0，2，3），
設平面A₁BC₁的法向量為

n

=(u，v，w)，有

n

⊥

A1B

，

n

⊥

C1B

，
其中

A1B

=(0，2，-3)，

C1B

=(2，0，-3)，
則有

n • A1B =0 n • C1B =0

即

2v-3w=0 2u-3w=0.

解得v=

3

2

w，u=

3

2

w，
取w=2，得平面的一個法向量

n

=(3，3，2)，且|

n

|=

22

．
在平面A₁BC₁上取點C₁，可得向量

DC1

=（0，2，3）
于是點D到平面A₁BC₁的距離d=

| n • DC1 |

| n |

=

6 22

11

．

點評：本題主要考查了點，線和面間的距離計算．解題的關鍵是利用了法向量的方法求點到面的距離．