Question

點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直于軸，垂足為D，Q為線段PD的中點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程。

（2）已知點(diǎn)M（1，1）為上述所求方程的圖形內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M作弦AB，若點(diǎn)M恰為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由Q為線段PD的中點(diǎn)，知x₀=x， y₀=2y，由P（x₀，y₀）在圓x²+y²=16上，知x₀²+y₀²=16，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡方程．

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-1）．由y=k(x-1)+1 ，，得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，x₁+x₂= ，而M（1，1）是AB中點(diǎn)，則 =1，由此能求出直線方程．

（1）設(shè)Q()  P() 則D()   即

   即為所求。                                                   …………4分

（2）法1：依題意顯然的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則AB的方程可設(shè)為。

由   得         

得                   …………7分

                          …………10分

            …………12分

 法2：（直接求k）：設(shè)A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)。

            …………6分

         …………8分

      …………10分

    …………12分

考點(diǎn)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是體現(xiàn)了解析幾何中設(shè)而不求的解題思想，聯(lián)立方程組，，轉(zhuǎn)化為二次方程的根的問題，結(jié)合韋達(dá)定理得到。