Question

已知定義在R上的奇函數f（x）有最小正周期2，且當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）證明：f（x）在（0，1）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）定義在R上的奇函數f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）時f（x）的解析式，x=-1和1時，同時結合奇偶性和單調性求解．
（2）證明單調性可用定義或導數解決．

解答：（1）解當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在區間[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1     x∈(0，1) - 2x 4x+1      x∈(-1，0) 0               x∈{-1，0，1}

（2）證明當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

，設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調遞減．

點評：本題考查奇偶性、周期性的綜合應用，及函數單調性的證明，綜合性較強．