Question

【題目】已知直四棱柱的棱長均相等，且BAD=60，M是側棱DD1的中點，N是棱C1D1上的點．

（1）求異面直線BD1和AM所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小為，，試確定點N的位置．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點與點重合．

【解析】

（1）取的中點，連結，，由直棱柱的幾何特征及平面幾何的知識可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出、后，利用即可得解；

（2）設，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量為，利用列方程即可得解.

的中點，連結，，

因為直四棱柱的棱長均相等，所以底面是菱形，

又，所以△ABD是正三角形，

所以，因為，所以,

在直四棱柱中，平面，平面，

所以，，

分別以直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設直四棱柱的棱長均為2，

則，，，，，，

（1）所以，,

設異面直線與所成角的大小為，則

，

所以異面直線與所成角的余弦值為；

（2）因為，．

設平面的一個法向量為，

則 即，所以

取，則；

設，則，

設平面的一個法向量為，

則 即 ，所以

取，則，

則，解得，

所以當二面角的大小為時，點與點重合．