Question

設a＞0，0≤x＜2π，若函數y=cos²x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4，試求a與b的值，并求使y取得最大值和最小值時的x值．

Answer 1

分析：通過同角三角函數的平方關系進行化簡，然后進行配方法，對a分類0＜a≤2，a＞2討論，結合函數的最值，求出a，b的值，從而得到解析式，最后求出相應最值時的x的值即可．

解答：解：f（x）=y=cos²x-asinx+b=-sin²x-asinx+b+1=-(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1
因為a＞0所以-

a

2

＜0，
（ⅰ）當-1≤-

a

2

＜0，即0＜a≤2時y_max=f(-

a

2

)=

a2

4

+b+1=0①y_min=f（1）=b-a=-4②
由①②解得

a=2 b=-2

或

a=-6 b=-10

（舍去）
（ⅱ）當-

a

2

＜-1，即a＞2時y_max=f（-1）=a+b=0③y_min=f（1）=b-a=-4④
由③④解得

a=2 b=-2

（舍去）
綜上，

a=2 b=-2

∴f（x）=cos²x-2sinx-2=-（sinx+1）²
當x=

π

2

時，y取得最小值；當x=

3π

2

時，y取得最大值

點評：本題主要考查了三角函數的最值，以及同角三角函數的關系和配方法，同時考查了分類討論的數學思想．