Question

袋中裝有13個紅球和n個白球，這些紅球和白球除了顏色不同之外，其余都相同，若從袋中同時取兩個球，取出的是2個紅球的概率等于取出的是一紅一白兩個球的概率的3倍．
（1）試求n的值；
（2）某公司的某部門有21位職員，公司將進行抽獎活動，規(guī)定：每個職員都從袋中同時取兩個球，然后放回袋中，搖勻再給別人抽獎，若某人取出的兩個球是一紅一白時，則中獎（獎金1000元）；否則，不中獎（也發(fā)鼓勵獎金100元）．試求此公司在這次抽獎活動中所發(fā)獎金總額的期望值．

Answer 1

分析：（1）記“取出兩個紅球”和“取出一紅一白兩球”分別為事件A和B，根據題意，得：P(A)=

C 2 13

C 2 13+n

，P（B）=

C 1 13 C 1 n

C 2 13+n

，由P（A）=3P（B），能求出n．
（2）設中獎人數為η，不中獎人數為21-η，獎金為ξ，則ξ=900η+2100，η～B（21，

26

105

），由此能求出此公司在這次抽獎活動中所發(fā)獎金總額的期望值．

解答：解：（1）記“取出兩個紅球”和“取出一紅一白兩球”分別為事件A和B，
根據題意，得：
P(A)=

C 2 13

C 2 13+n

，P（B）=

C 1 13 C 1 n

C 2 13+n

，
令P（A）=3P（B），k∈N^*
即

C 2 13

C 2 13+n

=3•

C 1 13 C 1 n

C 2 13+n

，
解得n=2．
（2）設中獎人數為η，不中獎人數為21-η，獎金為ξ，
則ξ=1000η+100（21-η），
即ξ=900η+2100，
每人中獎的概率為P（B）=

C 1 13 C 1 2

C 2 13+2

=

26

105

，
∴η～B（21，

26

105

）
∴Eη=21×

26

105

=

26

5

，
Eξ=900×

26

5

+2100=6780．
故此公司在這次抽獎活動中所發(fā)獎金總額的期望值為6780元．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望的求法和應用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的性質的合理運用．