Question

已知函數y=

1+bx

ax+1

(a＞0，x≠-

1

a

)的圖象關于直線y=x對稱．
（1）求實數b的值；
（2）設A、B是函數圖象上兩個不同的定點，記向量

e1

=

AB

，

e2

=(1，0)，試證明對于函數圖象所在的平面里任一向量

c

，都存在唯一的實數λ₁、λ₂，使得

c

=λ1

e1

+λ2

e2

成立．

Answer 1

（1）∵函數y=

1+bx

ax+1

(a＞0，x≠-

1

a

)的圖象關于直線y=x對稱，
∴當點(x0，y0)(x0≠-

1

a

)在函數的圖象上時，點(y0，x0)(y0≠-

1

a

)也在函數的圖象上，即

y0= 1+bx0 ax0+1 x0= 1+by0 ay0+1

，化簡，得（a+ab）x₀²+（1-b²）x₀-1-b=0．
此關于x₀的方程對x0≠-

1

a

的實數均成立，即方程的根多于2個，
∴

a+ab=0 1-b2=0 -1-b=0

，解之，得b=-1．
（2）由（1）知，y=

1-x

ax+1

(a＞0，x≠-

1

a

)，又點A、B是該函數圖象上不同兩點，則它們的橫坐標必不相同，于是，可設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
所以

e1

=

AB

，

e2

=(1，0)都是非零向量．
又y1-y2=

1-x1

ax1+1

-

1-x2

ax2+1

=

(1+a)(x2-x1)

(1+ax1)(1+ax2)

(x1≠x2，a＞0)
∴y₁≠y₂，
∴

e1

=

AB

=(x2-x1，y2-y1)與

e2

=(1，0)不平行，
即

e1

與

e2

為函數圖象所在坐標平面上所有向量的一組基．
根據平面向量的分解定理，可知，函數圖象所在的平面上任一向量

c

，都存在唯一實數λ₁、λ₂，使得

c

=λ1

e1

+λ2

e2

成立．