Question

正項數列滿足，

（1）若，求的值；

（2）當時，證明： ；

（3）設數列的前項之積為，若對任意正整數，總有成立，求的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2） ；

（3）實數的取值范圍是

【解析】（1）因為所以，解得或（舍去）

由的任意性知，    ……………3分

（2）反證法：假設      ……………4分

即，則得

依此類推，這與矛盾。

所以假設不成立，則            ……………7分

（3）由題知，當時，，

所以

同理有

將上述個式子相乘，得，

即  ……………11分

當時，也成立，

所以     ……………12分

從而要使對任意的恒成立，

只要使對任意的恒成立即可。

因為數列單調遞增，所以  ……………13分

即

所以實數的取值范圍是      

又a>0, 所以實數的取值范圍是………14分