Question

已知拋物線y=x²和三個點M（x₀，y₀）、P（0，y₀）、N（-x₀，y₀）（y₀≠x₀²，y₀＞0），過點M的一條直線交拋物線于A、B兩點，AP、BP的延長線分別交曲線C于E、F．
（1）證明E、F、N三點共線；
（2）如果A、B、M、N四點共線，問：是否存在y₀，使以線段AB為直徑的圓與拋物線有異于A、B的交點？如果存在，求出y₀的取值范圍，并求出該交點到直線AB的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出A，B，E，F的坐標，進而可表示出直線AB的方程，把點M代入，整理可得到y₀的表達式，進而把直線AP的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理表示出x_F和y_F，x_E和y_E，將y₀的表達式代入y=

y0

x1x2

[(x1+x2)x0-y0]得y=y₀，判斷出N點在直線EF上．
（2）已知A、B、M、N共線，可分別表示出A，B的坐標和以AB為直徑的圓的方程，與拋物線方程聯立求得y₀和y的關系要使圓與拋物線有異于A，B的交點判斷y₀-1≥0，進而可推斷出存在y₀≥1，使以AB為直徑的圓與拋物線有異于A，B的交點T且y_T=y₀-1進而求得交點T到AB的距離．

解答：（1）證明：設A（x₁，x₁²）、B（x₂，x₂²），E（x_E，y_E）、F（x_F，y_F）
則直線AB的方程：y=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

(x-x1)+

x

2 1

即：y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
因M（x₀，y₀）在AB上，所以y₀=（x₁+x₂）x₀-x₁x₂①
又直線AP方程：y=

x 2 1 -y0

x1

x+y0
由

y= x 2 1 -y0 x1 x+y0 x2=y

得：x2-

x 2 1 -y0

x1

x-y0=0
所以x1+xE=

x 2 1 -y0

x1

?xE=-

y0

x1

，yE=

y 2 0

x 2 1

同理，xF=-

y0

x2

，yF=

y 2 0

x 2 2

所以直線EF的方程：y=-(

x1+x2

x1x2

)y0x-

y 2 0

x1x2

令x=-x₀得y=

y0

x1x2

[(x1+x2)x0-y0]
將①代入上式得y=y₀，即N點在直線EF上
所以E，F，N三點共線
（2）解：由已知A、B、M、N共線，所以A(-

y0

，y0)，B(

y0

，y0)
以AB為直徑的圓的方程：x²+（y-y₀）²=y₀
由

x2+(y-y0)2=y0 x2=y

得y²-（2y₀-1）y+y₀²-y₀=0
所以y=y₀（舍去），y=y₀-1
要使圓與拋物線有異于A，B的交點，則y₀-1≥0
所以存在y₀≥1，使以AB為直徑的圓與拋物線有異于A，B的交點T（x_T，y_T）
則y_T=y₀-1，所以交點T到AB的距離為y₀-y_T=y₀-（y₀-1）=1

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是充分發揮判別式和韋達定理在解題中的作用．