Question

在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南θ(cosθ=

2

10

)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？

Answer 1

分析：建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向．設在時刻：t（h）臺風中心P（x，y）的坐標進而可知此時臺風侵襲的區域，根據題意可知其中r（t）=10t+60，若在t時，該城市O受到臺風的侵襲，則有（0-x）²+（0-y）²≤（10t+60）²，進而可得關于t的一元二次不等式，求得t的范圍，答案可得．

解答：解：如圖建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向．
在時刻：t（h）臺風中心P（x，y）的坐標為

x=300× 2 10 -20× 2 2 t y=-300× 7 2 10 +20× 2 2 t.

令（x′，y′）是臺風邊緣線上一點，則此時臺風侵襲的區域是（x′-x）²+（y′-y）²≤[r（t）]²，
其中r（t）=10t+60，
若在t時，該城市受到臺風的侵襲，
則有（0-x）²+（0-y）²≤（10t+60）²，
即(300×

2

10

-20×

2

2

t)2+(-300×

7 2

10

+20×

2

2

t)2≤(10t+60)2，
即t²-36t+288≤0，解得12≤t≤24．
答：12小時后該城市開始受到臺風氣侵襲．

點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．