Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點對稱，且f（x）=x²+2x．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）λ≠-1，若h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點Q（x₀，y₀）關(guān)于原點的對稱點為P（x，y），利用函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點對稱，可求得對稱點之間的坐標關(guān)系，利用f（x）=x²+2x，可求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1，其對稱軸方程為x=

1-λ

1+λ

，利用h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-1，1]上是增函數(shù)，可求實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點Q（x₀，y₀）關(guān)于原點的對稱點為P（x，y），則

x0+x 2 =0 y0+y 2 =0

，即

x0=-x y0=-y

（2分）
∵點Q（x₀，y₀）在函數(shù)y=f（x）的圖象上
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，
故g（x）=-x²+2x（6分）
（2）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1
其對稱軸方程為x=

1-λ

1+λ

．
ⅰ）當(dāng)λ＜-1時，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1
ⅱ）當(dāng)λ＞-1時，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0．（12分）
綜上，λ≤0且λ≠-1（13分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的單調(diào)性，求解析式的關(guān)鍵是利用對稱性，求得對稱點坐標之間的關(guān)系