Question

若向量

a

=(1，2)，

b

=(-2，1)，k，t為正實數．且

x

=

a

+(t2+1) 

b

，

y

=-

1

k

a

 +

1

t

b

，
（1）若

x

⊥

y

，求k的最大值；
（2）是否存在k，t，使

x

∥

y

？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先根據向量的計算公式求出

X

，

Y

；
（1）直接代入向量垂直的結論：

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0．即可求出k和t之間的關系，進而求出k的最大值；
（2）直接代入向量共線的結論：

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

a

∥

b

?x₁y₂-x₂y₁=0．即可求出k和t之間的關系，再結合原題中k，t為正實數即可求出結論．

解答：解：由已知可得

x

=（1，2）+（t²+1）（-2，1）=（-2t²-1，t²+3），

y

=-

1

k

（1，2）+

1

t

（-2，1）
=（-

1

k

-

2

t

，-

2

k

+

1

t

）
（1）若

x

⊥

y

，則

x

•

y

=0，即（-2t²-1）（-

1

k

-

2

t

）+（t²+3）（-

2

k

+

1

t

）=0，
整理得，k=

t

t2+1

=

1

t+ 1 t

≤

1

2 t• 1 t

=

1

2

，（4分）
當且僅當t=

1

t

，即t=1時取等號，
∴k_max=

1

2

．（7分）
（2）假設存在正實數k，t，使

x

∥

y

，
則（-2t²-1）（-

2

k

+

1

t

）-（t²+3）（-

1

k

-

2

t

）=0．
化簡得

t2+1

k

+

1

t

=0，即t³+t+k=0．（11分）
又∵k，t是正實數，故滿足上式的k，t不存在，
∴不存在k，t，使

x

∥

y

．（14分）

點評：本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系以及平行關系，考查計算能力．如果

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)則，

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0；

a

∥

b

?x₁y₂-x₂y₁=0．