Question

10、已知無窮等比數列{a_n}的前n項的積為T_n，且a₁＞1，a₂₀₀₈a₂₀₀₉＞1，（a₂₀₀₈-1）（a₂₀₀₉-1）＜0，則這個數列中使T_n＞1成立的最大正整數n的值等于（　　）

A、2008

B、2009

C、4016

D、4017

Answer 1

分析：如果是遞增數列T（n）應該無限大，該數列有最小值說明是遞減數列，得出a₂₀₀₈＞1，a₂₀₀₉＜1，進而利用等比中項得出a₁a₄₀₁₅＞1，a₁a₄₀₁₇＜1，然后根據a₂₀₀₈a₂₀₀₉=a₁a₄₀₁₆＞1，即可得出結果．

解答：解：已知條件可知，a₂₀₀₈＞1，a₂₀₀₉＜1
∴a₁a₄₀₁₅＞1，a₁a₄₀₁₇＜1′，
∴T₄₀₁₅＞1，T₄₀₁₇＜1′，
∵a₂₀₀₈a₂₀₀₉=a₁a₄₀₁₆＞1，
∴T₄₀₁₆＞1′，
這個數列中使T_n＞1成立的最大正整數n的值為4016．
故選C．

點評：本題考查了題主要考查了等比數列的性質．考查了學生分析問題和解決問題的能力．由已知條件得出a₂₀₀₈＞1，a₂₀₀₉＜1是解題的關鍵，屬于中檔題．