Question

（本題滿分15分）

把正整數按從小到大順序排列成下列數表，數表中第行共有個正整數：

    設是位于數表中從上往下數第行、從左往右數第個數

（1）若，求的值；

（2）記，求數列的通項公式；

（3）猜想與的大小關系，并證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

（1） 

（2）              

（3）猜想：當時，；當時，    

證明：（法一）二項式定理的應用                       

（法二）數學歸納法

【解析】第一問，利用已知的數字可知到第行共有個數

時，

    時，

    所以，

第二問中，

，累加法得到

第三問中，

        時，

        時，

        時，

        時，

猜想：當時，；當時，并用數學歸納法得證。

解:（1）到第行共有個數

    時，

    時，

    所以，                （3分）

（2）

由疊加可得                  （3分）

（3）

        時，

        時，

        時，

        時，

猜想：當時，；當時，       （3分）

 

證明：（法一）二項式定理的應用                        （6分）

（法二）數學歸納法