Question

已知f(x)=4x+ax²-x³(x∈R)在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A.

(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=2x+x³的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)于任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立?若存在,求m的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解析:(1)f′(x)=4+2ax-2x².?

因?yàn)?I >f(x)在［-1,1］上是增函數(shù),?

所以f′(x)≥0對(duì)x∈［-1,1］恒成立,?

即x²-ax-2≤0對(duì)x∈［-1,1］恒成立.                         ①?

設(shè)g(x)=x²-ax-2.?

方法一:

因?yàn)閷?duì)x∈［-1,1］,只有當(dāng)a=1時(shí),f′(-1)=0.?

以及當(dāng)a=-1時(shí),f′(1)=0,?

所以A={a|-1≤a≤1}.?

方法二:

0≤a≤1或-1≤a≤0-1≤a≤1.?

因?yàn)閷?duì)x∈［-1,1］,只有當(dāng)a=1時(shí),f′(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f′(1)=0,?

所以A={a|-1≤a≤1}.?

(2)由4x+ax²-x³=2x+x³,?

得x=0或x²-ax-2=0.?

因?yàn)棣?a²+8＞0,?

所以x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實(shí)根.?

因?yàn)?I >x₁+x₂=a,x₁x₂=-2,?

又因?yàn)?1≤a≤1,|x₁-x₂|=

要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈［-1,1］恒成立,                                 ②?

即m²+tm-2≥0對(duì)任意t∈［-1,1］恒成立.?

設(shè)h(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2),則?

所以存在滿(mǎn)足題設(shè)的m,其取值范圍為{m|m≥2或m≤-2}.