Question

在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），向量

e

=（0，1），點B為直線x=-1上的動點，點C滿足2

OC

=

OA

+

OB

，點M滿足

BM

•e=0，

CM

•

AB

=0．
（1）試求動點M的軌跡E的方程；
（2）試證直線CM為軌跡E的切線．

Answer 1

分析：（1）設B（-1，m），C（x₁，y₁），利用2

OC

=

OA

+

OB

得到關系式，求出x₁=0，y1=

m

2

，設M（x，y），

BM

•e=0，

CM

•

AB

=0．得到軌跡方程．
（2）求出MC的方程，與拋物線方程聯立，求出解得情況，判斷是否是切線即可．

解答：（1）解：設B（-1，m），C（x₁，y₁），
由2

OC

=

OA

+

OB

，得：2（x₁，y₁）=（1，0）+（-1，m），解得x₁=0，y1=

m

2

（2分）
設M（x，y），由

BM •e=0 CM • AB =0

，得

(x+1，y-m)•(0，1)=0 (x，y- m 2 )•(-2，m)=0

⇒

x= m2 4 y=m

，（4分）
消去m得E的軌跡方程y²=4x（6分）
（2）解：由題設知C為AB中點，MC⊥AB，故MC為AB的中垂線，MB∥x軸，
設M（

y0

4

，y0），則B（-1，y₀），C（0，

y0

2

），
當y₀≠0時，kMC=

2

y0

，MC的方程y=

2

y0

x+

y0

2

（8分）
將MC方程與y²=4x聯立消x，整理得：y²-2y₀y+y₀²=0，
它有唯一解y=y₀，即MC與y²=4x只有一個公共點，
又k_MC≠0，所以MC為y²=4x的切線（10分）
當y₀=0時，顯然MC方程x=0為軌跡E的切線
綜上知，MC為軌跡E的切線．

點評：本題是基礎題，以向量為載體考查平面解析幾何軌跡方程以及切線的問題，注意等價轉化的思想，考查分析問題解決問題的能力．