Question

必做題，本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
已知拋物線y²=4x的焦點為F，直線l過點M（4，0）．
（1）若點F到直線l的距離為

3

，求直線l的斜率；
（2）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值．（6分）

Answer 1

分析：（1）設出直線l的方程y=k（x-4），利用點F到直線l的距離為

3

，即可求得k的值；
（2）設AB中點的坐標為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意直線MN的斜率為

y0

x0-4

，直線AB的斜率為k_AB=

4-x0

y0

，從而可得AB的方程，與拋物線y²=4x聯立，結合韋達定理即可求得AB中點的橫坐標．

解答：必做題，本小題（10分）．
解：（1）由已知得F（1，0），又直線l過點M（4，0），
當直線l斜率不存在時，l的方程為：x=4，點F到直線l的距離為3，與題意不符；
∴直線l斜率存在，設為k，則l的方程為：y=k（x-4），…（2分）
∵點F到直線l的距離為

3

，
∴

|k-4k|

1+k2

=

3

，
∴k=±

2

2

…（4分）
（2）設AB中點的坐標為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為AB不垂直于x軸，則直線MN的斜率為

y0

x0-4

，直線AB的斜率為k_AB=

4-x0

y0

，
直線AB的方程為y-y0=

4-x0

y0

(x-x0)，…（5分）
聯立方程

y-y0= 4-x0 y0 (x-x0) y2=4x

消去x得(1-

x0

4

)y2-y0y+

y

2 0

+x0(x0-4)=0，…（7分）
所以y1+y2=

4y0

4-x0

，…（8分）
因為N為AB中點，所以

y1+y2

2

=y0，即

2y0

4-x0

=y0，…（9分）
所以x₀=2．即線段AB中點的橫坐標為定值2．…（10分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，著重考查點到直線間的距離公式及直線與圓錐曲線的聯立，突出考查方程思想與化歸思想，屬于難題．