Question

已知函數(>0)，過點P(1，0)作曲線的兩條切線PM、PN，為M、N．

(1)當t=2時，求函數的單調遞增區間；

(2)設|MN|=g(t)，求函數g(t)的表達式；

(3)在(2)的條件下，若對任意正整數，在區間[2，+]內總存在+1個實數、、…、、，使得不等式g()+g()+…+g()<g()成立，求的最大值．

Answer 1

解：(1)當t=2時，，

解得>或<一．

則函數的單調遞增區間為(一∞，一)，(，+∞)．

(2)設M、N兩點的橫坐標分別為₁、₂，

∵，

∴切線PM的方程為，

又∵切線PM過點P(1，0)，

∴有0一()=() (1－)．

即    ①

同理，由切線PN也過點P(1，0)，得

    ②

由①②可得₁、₂是方程=0的兩個根，

∴    (*)

   |MN|=

=

=

把(*)式代入，得|MN|=，

因此，函數g(*)的表達式為g(t)= (t>0)．

(3)易知g(t)在區間[2，+]上為增函數，

∴g(2)≤g()(=1，2，…，m+1)，

則m?g(2)≤g(₁)+g(₂)+…+g(_m)，

∵g(₁)+g(₂)+…+g(_m)≤g(_m+1)對一切正整數成立．

    ∴不等式m?g(2)≤g(+)對一切的正整數恒成立．

    ∴．

即m<對一切正整數，恒成立．

∵+64≥16．

    ∴

    >．

M<．

由于m為正整數，∴m≤6．

又m=6時，存在₁=₂=…=_m=2，_m十1=16，

對所有的滿足條件．因此，m的最大值為6．