Question

如圖，菱形ABCD中，AB=AC=1，其對角線的交點為O，現將△ADC沿對角線AC向上翻折，使得OD⊥OB．在四面體ABCD中，E在AB上移動，點F在DC上移動，且AE=CF=a（0≤a≤1）．
（1）求線段EF的最大值與最小值；
（2）當線段EF的長最小時，求異面直線AC與EF所成角θ的大小．

Answer 1

【答案】分析：解一：（1）以O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，確定E，F的坐標，求出EF的長，利用配方法可求線段EF的最小值；
（2）時，，，利用向量的夾角公式，可得異面直線AC與EF所成角θ的大小；
解二：（1）如圖，過點F作FM∥DO，則，求出EM的最小值，即可得到線段EF的最小值；
（2）過點E作EN∥AC，連接FN，則∠FEN為異面直線AC與EF所成角，在△EFN中，，，EF=，由余弦定理可得異面直線AC與EF所成角θ的大小．
解答：解一：（1）以O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系O-xyz，…（1分）
則∵AB=AC=1，AE=CF=a（0≤a≤1），
∴，…（2分）
∴=．     …（2分）
所以，當時，線段EF的最小值為．…（1分）
（2）時，，，…（2分）
∴．…（3分）
所以異面直線AC與EF所成角θ的大小．…（1分）
解二：（1）如圖，過點F作FM∥DO，則，…（2分）
在△AEM中，由余弦定理，得．…（3分）
所以，當時，線段EF的最小值為．     …（1分）
（2）過點E作EN∥AC，連接FN，則∠FEN為異面直線AC與EF所成角，…（1分）
∵EN∥AC，AB=AC=1，AE=，∴，CN=，
∵CF=，∴FN∥DB
∵DB=，∴
在△EFN中，，，EF=，…（2分）
由余弦定理可得cos∠FEN=，…（2分）
∴異面直線AC與EF所成角θ的大小．…（1分）
點評：本題考查線段長的計算，考查線線角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，綜合性強，屬于中檔題．