Question

（本小題滿分12分）

設不等邊三角形ABC的外心與重心分別為M、G，若A(－1，0)，B(1，0)且MG//AB.

(Ⅰ) 求三角形ABC頂點C的軌跡方程；

(Ⅱ) 設頂點C的軌跡為D，已知直線過點（0，1）并且與曲線D交于P、N兩點，若O為坐標原點，

滿足OP⊥ON，求直線的方程.

Answer 1

【解析】：（I）設C（x，y）（xy≠0）                                                     …………1分

       ∵MG∥AB，可設G（a ,b），則M（0，b）.                                     

∴                                     (1)                                      …………3分

∵M是不等邊三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，

即                   （2）                                 …………4分

由（1）（2）得.

所以三角形頂點C的軌跡方程為.                 …………6分

（II）設直線l的方程為，，，

       由消y得。                             …………8分

∵直線l與曲線D交于P、N兩點，∴△=，

又，。

∵，∴，∴   …………6分

∴，∴。                 …………11分

∴直線l的方程為。                                                    …………12分