Question

已知數列{a_n}中，a₂=a（a為非零常數），其前n項和S_n滿足：S_n=（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a=2，且，求m、n的值；
（3）是否存在實數a、b，使得對任意正整數p，數列{a_n}中滿足a_n+b≤p的最大項恰為第3p-2項？若存在，分別求出a與b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，得a₁=S₁==0，∴S_n=，
則有S_n+1=，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即（n-1）a_n+1=na_n n∈N*，
∴na_n+2=（n+1）a_n+1，
兩式相減得，2a_n+1=a_n+2+a_n n∈N*，
即a_n+1-a_n+1=a_n+1-a_n n∈N*，
故數列{a_n}是等差數列．
又a₁=0，a₂=a，∴a_n=（n-1）a．
（2）若a=2，則a_n=2（n-1），∴S_n=n（n-1）．
由，得n²-n+11=（m-1）²，即4（m-1）²-（2n-1）²=43，
∴（2m+2n-3）（2m-2n-1）=43．
∵43是質數，2m+2n-3＞2m-2n-1，2m+2n-3＞0，
∴，解得m=12，n=11．
（3）由a_n+b≤p，得a（n-1）+b≤p．
若a＜0，則n≥+1，不合題意，舍去；
若a＞0，則n≤+1．∵不等式a_n+b≤p成立的最大正整數解為3p-2，
∴3p-2≤+1＜3p-1，
即2a-b＜（3a-1）p≤3a-b，對任意正整數p都成立．
∴3a-1=0，解得a=，
此時，-b＜0≤1-b，解得＜b≤1．
故存在實數a、b滿足條件，a與b的取值范圍是a=，＜b≤1．
分析：（1）利用數列的項與前n項和的關系，將條件轉化為數列的項之間的關系，判定數列為特征數列，再求通項公式；
（2）利用（1）的結論，求出m、n滿足的關系，分析求解即可；
（3）根據條件a_n+b≤p求出n滿足的條件，再根據滿足a_n+b≤p的最大項始終為3P-2，轉化為不等式的恒成立問題，分析求解即可．
點評：本題考查了等差數列的通項公式，數列的項與前n項和之間的關系及數列的綜合問題．