Question

拋物線的準線的方程為，該拋物線上的每個點到準線的距離都與到定點的距離相等，圓是以為圓心，同時與直線和相切的圓，

（Ⅰ）求定點的坐標；

（Ⅱ）是否存在一條直線同時滿足下列條件：

① 分別與直線和交于、兩點，且中點為；

② 被圓截得的弦長為2．

Answer 1

，不存在

解析:

（1）拋物線的準線的方程為

根據拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，

 定點N的坐標為 

（2）假設存在直線滿足兩個條件，顯然斜率存在，

設的方程為，    以N為圓心，同時與直線 相切的圓N的半徑為，

方法1：被圓N截得的弦長為2，圓心到直線的距離等于1， 

即，解得，

當時，顯然不合AB中點為的條件，矛盾！當時，的方程為 

由，解得點A坐標為，              

由，解得點B坐標為，

顯然AB中點不是，矛盾！ 不存在滿足條件的直線．

方法2：由，解得點A坐標為，由，解得點B坐標為，

AB中點為，，解得，   

的方程為，

圓心N到直線的距離，                 

被圓N截得的弦長為2，圓心到直線的距離等于1，矛盾！

不存在滿足條件的直線．

方法3：假設A點的坐標為，

AB中點為，B點的坐標為，

又點B 在直線上，，              

A點的坐標為，直線的斜率為4，

的方程為，

圓心N到直線的距離，                   

被圓N截得的弦長為2，圓心到直線的距離等于1，矛盾！

不存在滿足條件的直線．