Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C，若

AF

=

FB

，

BA

•

BC

=48，則拋物線的方程為（　　）

• A、y²=4x
• B、y²=8x
• C、y²=16x
• D、y2=4

  2

  x

Answer 1

分析：先設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知|AF|=|AC|，根據(jù)F是AB的中點(diǎn)可知|AC|=2|FD|，|AB|=2|AF|進(jìn)而得到|AF|和|AB|關(guān)于p的表達(dá)式，進(jìn)而得到|BC|，最后根據(jù)

BA

•

BC

=48，求得p．

解答：解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D，依題意，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，
故|AF|=|AC|=2|FD|=2p，
|AB|=2|AF|=2|AC|=4p，
∴∠ABC=30°，|

BC

|=2

3

p，

BA

•

BC

=4p•2p•cos30°=48，
解得p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
故答案為：y²=4x

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)．注意對(duì)拋物線定義的理解和靈活運(yùn)用．