Question

已知復數z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2．
（1）求z；
（2）設z、z²、z-z²在復平面對應的點分別為A，B，C，求∠ABC的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設z=a+bi，根據復數模的公式和乘法運算法則，得到a²+b²=2且2ab=2，聯解可得a=b=-1或a=b=1，得到z的值；
（2）當z=1+i時，由復數的幾何意義算出A、B、C的坐標，從而算出AB=

2

、AC=2、BC=

10

，利用余弦定理即可算出cos∠ABC=

2 5

5

；當z=-1-i時，用類似的方法可算出cos∠ABC=

8 65

65

．

解答：解：（1）設z=a+bi（a、b∈R），z²=（a+bi）²=a²-b²+2abi…（1分）
∵|z|=

a2+b2

=

2

，∴a²+b²=2，…①
又∵z²的虛部為2，∴2ab=2…②…（2分）
①②聯解，得a=b=-1或a=b=1…（3分）
∴z=1+i或-1-i…（4分）
（2）（i）當z=1+i時，z²=2i，z-z²=1-i…（5分）
可得A（1，1），B（0，2），C（1，-1）．
∴AB=

2

，AC=2，BC=

10

，
可得cos∠ABC=

2+10-4

2× 2 × 10

=

2

5

5

，…（9分）
（ii）當z=-1-i，z²=2i，z-z²=-1-3i，…（10分）
可得A（-1，-1），B（0，2），C（-1，-3）．
∴AB=

10

，AC=2，BC=

26

，
可得cos∠ABC=

26+10-4

2× 26 × 10

=

8

65

65

…（13分）

點評：本題以復數的運算和復數的幾何意義為載體，求復數z的值并求cos∠ABC的值．著重考查了復數的有關概念、坐標系內兩點間的距離公式和余弦定理等知識，屬于中檔題．