Question

設虛數z滿足|2z+3|=

3

|

.

z

+2|．
（1）求證：|z|為定值．
（2）是否存在實數k，使

z

k

+

k

z

為實數？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設z=x+yi（x，y∈R，y≠0），代入已知條件，可得|z|=

3

；
（2）設存在實數k，使得

z

k

+

k

z

為實數，利用復數的模的性質將

z

k

+

k

z

化為：（

x

k

+

kx

3

）+（

y

k

-

ky

3

）i∈R，從而得到

y

k

-

ky

3

=0，繼而可求得k的值．

解答：（1）依題意，設z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′
代入|2z+3|=

3

|

.

z

+2|得|（2x+3）+2yi|=

3

|（x+2）-yi|，
整理得：x²+y²=3，即|z|=

3

…6′
（2）設存在實數k，使得

z

k

+

k

z

為實數，
則

z

k

+

k

z

=

x+yi

k

+

k

x+yi

=

x+yi

k

+

k(x-yi)

(x+yi)(x-yi)

=

x+yi

k

+

k(x-yi)

3

=（

x

k

+

kx

3

）+（

y

k

-

ky

3

）i∈R，
∴

y

k

-

ky

3

=0，
∵y≠0，
∴k=±

3

．
故存在實數k且k=±

3

，使

z

k

+

k

z

為實數…12′

點評：本題考查復數代數形式的混合運算，設z=x+yi（x，y∈R，y≠0）代入條件關系式是突破口，著重考查復數模的性質，屬于中檔題．