Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，側面為等邊三角形，側棱.

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐外接球的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）設中點為，連接、，利用等腰三角形三線合一的性質得出，利用勾股定理得出，由線面垂直的判定定理可證得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）先確定三棱錐的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半徑，再由球體的體積公式可求得結果.

（1）設中點為，連接、， 因為，所以.

又，所以，

又由已知，，則，所以，.

又為正三角形，且，所以，

因為，所以，，

，平面，

又平面，平面平面；

（2）由于是底面直角三角形的斜邊的中點，所以點是的外心，

由（1）知平面，所以三棱錐的外接球的球心在上.

在中，的垂直平分線與的交點即為球心，

記的中點為點，則.

由與相似可得，

所以.

所以三棱錐外接球的體積為.