Question

甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別為0、7、0、6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：
（Ⅰ）甲試跳三次，第三次才能成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個相互獨立事件，甲試跳三次，第三次才能成功的概率，表示甲前兩次試跳不成功，而第三次試跳才成功，記出事件，根據相互獨立事件同時發生的概率，得到結果．
（Ⅱ）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功表示甲成功且乙成功，甲不成功且乙成功，甲成功且乙不成功，三種結果，這三種事件之間是互斥關系，根據互斥事件和相互獨立事件的概率，得到結果．
（Ⅲ）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次表示甲成功兩次且乙成功一次，甲成功一次且乙成功0次，兩種結果，這兩種結果是互斥的，根據互斥事件的概率，得到結果．

解答：解：記“甲第i次試跳成功”為事件A₁，“乙第i次試跳成功”為事件B₁、
依題意得P（A₁）=0.7，P（B₁）=0.6，且A₁，B₁（i=1，2，3）相互獨立、
（Ⅰ）“甲第三次試跳才成功”為事件

.

A1

.

A2

A₃，且三次試跳相互獨立，
∴P（

.

A1

.

A2

A₃）=P（

.

A1

）P(

.

A2

)P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063
即甲第三次試跳才成功的概率為0.063．

（Ⅱ）甲、乙兩支在第一次試跳中至少有一人成功為事件C，
解法一：C=A₁

.

B1

+

.

A1

B1+A1B1，且A1

.

B1

、

.

A1

B1、A1B1彼此互斥，
∴P（C）=P(A1•

.

B1

)+P(

.

A1

•B1)+P(A1•B1)
=P(A1)P(

.

B1

)+P(

.

A

1)P(B1)+P(A1)P(B1)
=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
=0.88

解法二：P（C）=1-P(

.

A1

)•P(

.

B1

)=1-0.3×0.4=0.88．
即甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88

（Ⅲ）設“甲在兩次試跳中成功i次”為事件M_i（i=0，1，2），
“乙在兩次試跳中成功i次”為事件N_i（i=0，1，2），
∵事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次”可表示為M₁N₀+M₂N₁，且M₁N₀、M₂N₁為互斥事件．
∴所求的概率為P（M₁N₀+M₂N₁）=P（M₁N₀）+P（M₂N₁）=P（M₁）P（N₀）+P（M₂）P（N₁）
=C₂¹×0.7×0.3×0.4²+0.7²×C₂¹×0.6×0.4
=0.0672+0.2352
=0.3024．
即甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率為0.3024．

點評：本小題主要考查概率的基礎知識，運用數學知識解決問題的能力，以及推理與運算能力．相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，注意應用相互獨立事件同時發生的概率公式．