Question

已知函數.
（Ⅰ）若，且對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；
（Ⅱ）設函數，
求證：

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）是偶函數，只需研究對任意成立即可，即當時
（Ⅱ）觀察結論，要證，即證，變形可得，
可證．問題得以解決．
試題解析：（Ⅰ）由可知是偶函數．
于是對任意成立等價于對任意成立．  （1分）
由得．
①當時，．
此時在上單調遞增．  故，符合題意．（3分）
②當時，．
當變化時的變化情況如下表：                 （4分）

	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在上，．
依題意，，又．
綜合①，②得，實數的取值范圍是．               （7分）
（Ⅱ），

又，
（10分）
，
                 （12分）
由此得:

故成立.        （14分）.