Question

【題目】已知函數，若關于x的方程有四個不等實根，且恒成立，則實數的最小值為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

函數是分段函數，通過求導分析得到函數在上為增函數，在上為增函數，在上為減函數，求得函數在上，當時有一個極大值1，所以要使方程有四個實數根，的值一個要在內，一個在內，然后運用二次函數的圖象及二次方程根的關系列式求解和的取值范圍，從而求出的最小值.

，
當時，恒成立，所以在上為增函數，
當時，，
由，得，當時，，為增函數，
當時，，為減函數，
所以函數的極大值為，
極小值為:，如圖：

令，由韋達定理得:，，

（1）因為當，且時，方程沒有實根，故舍去.

（2）又當，且（不妨設），由圖象可得至多有三個實根，
由此可得方程至多有三個實根，不符合題意.

（3）若是方程的根，代入可得，所以，解得，而根據圖象可知無解，和都只有一個根，不符合題意.

故要使方程有四個不等實數根，
則方程應有兩個不相同的正實根，

即，且，此時，且一個根在內，一個根在內，
再令，
因為，①
，

則，②
則只需，即，
所以，③

將③式平方可得：，④
由①②解得:，⑤
由④得到:，由④⑤得到:，
所以，
.
所以本題答案為.