Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，則f（2）等于（　　）

A．11或18

B．11

C．18

D．17或18

Answer 1

分析：根據函數在x=1處有極值時說明函數在x=1處的導數為0，又因為f^′（x）=3x²+2ax+b，所以得到：f^′（1）=3+2a+b=0，又因為f（1）=10，所以可求出a與b的值確定解析式，最終將x=2代入求出答案．

解答：解：f′（x）=3x²+2ax+b，
∴

3+2a+b=0 1+a+b+a2=10

⇒

b=-3-2a a2-a-12=0

⇒

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

①當

a=-3 b=3

時，f′（x）=3（x-1）²≥0，∴在x=1處不存在極值；
②當

a=4 b=-11

時，f′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1）
∴x∈（ -

11

3

，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符號題意．
∴

a=4 b=-11

，∴f（2）=8+16-22+16=18．
故選C．

點評：本題主要考查導數為0時取到函數的極值的問題，這里多注意聯立方程組求未知數的思想，本題要注意f′（x₀）=0是x=x₀是極值點的必要不充分條件，因此對于解得的結果要檢驗．