Question

定義在R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=kx+b（k，b為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，則稱g（x）為函數f（x）的一個“承托函數”．現有如下命題：
①g（x）=2x為函數f（x）=2^x的一個承托函數；
②若g（x）=kx-1為函數f（x）=xlnx的一個承托函數，則實數k的取值范圍是[1，+∞）；
③定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數；
④對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個．
其中正確的命題是

④

．

Answer 1

分析：①舉反例x=

3

2

時，有f（x）＜g（x），故錯誤；②若g（x）=kx-1為函數f（x）=xlnx的一個承托函數，則xlnx≥kx-1對一切正實數x都成立，即k≤lnx+

1

x

，故只需求m（x）=lnx+

1

x

的最小值，利用導數可得函數m（x）的最小值為1，可知正確；③舉反例f（x）=2x+3存在一個承托函數y=2x+1，錯誤；④舉例f（x）=sinx，y=tanx，y=lgx，可說明結論正確．

解答：解：選項①，當x=

3

2

時，f（

3

2

）=2

3

2

=

8

，g（

3

2

）=3=

9

，有f（x）＜g（x），
故g（x）=2x不是函數f（x）=2^x的一個承托函數，故錯誤；
選項②若g（x）=kx-1為函數f（x）=xlnx的一個承托函數，
則xlnx≥kx-1對一切正實數x都成立，即k≤lnx+

1

x

，
只需求m（x）=lnx+

1

x

的最小值，求導數可得m′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，令

x-1

x2

＞0可得x＞1，即函數m（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，
故m（x）的最小值為m（1）=1，故可得k≤1，故實數k的取值范圍是（-∞，1]，故錯誤；
選項③如f（x）=2x+3存在一個承托函數y=2x+1，故錯誤；
選項④若f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），就是它的一個承托函數，且有無數個，再如y=tanx，y=lgx就沒有承托函數，故正確；
故答案為：④

點評：本題考查命題真假的判斷與應用，涉及函數的應用及新定義，屬基礎題．