Question

若f（n）為n²+1（n∈N^*）的各位數字之和，如14²+1=197，1+9+7=17則f（14）=17，記f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），f_k+1（n）=f（f_k（n））k∈N^*則f₂₀₁₂（8）=（　　）

A．3

B．5

C．8

D．11

Answer 1

分析：通過計算f₁（8）、f₂（8）和f₃（8），得到f_n+2（8）=f_n（8）對任意n∈N^*成立，由此可得f₂₀₁₂（8）=f₂（8）=5，得到本題答案．

解答：解：根據題意，可得
∵8²+1=64+1=65，∴f₁（8）=6+5=11
又∵11²+1=122，f₂（8）=f（f₁（8））
∴f₂（8）=f（11）=1+2+2=5
∵5²+1=26，f₃（8）=f（f₂（8））
∴f₃（8）=f（5）=2+6=8=f₁（8）
因此，可得f_n+2（8）=f_n（8）對任意n∈N^*成立，
∴f₂₀₁₂（8）=f_2+1005×2（8）=f₂（8）=5
故選B

點評：本題給出“f（n）為n²+1（n∈N^*）的各位數字之和”的模型，求f₂₀₁₂（8）的值，著重考查了函數的對應法則、數列的周期和進行簡單的合情推理等知識，屬于基礎題．