Question

（文）已知動圓過定點P（0，1），且與定直線y=-1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點Q（0，-1）且以

a

=(-1，-k)為方向向量的直線l與軌跡M相交于A、B兩點．若∠APB為鈍角，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，動圓過定點P（0，1），且與定直線y=-1相切，可得圓心到定點P（0，1），及定直線y=-1的距離相等，根據拋物線的定義可得動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）直線l過點Q（0，-1），且以

a

=(-1，-k)為方向向量，所以直線方程為y=kx-1，聯立直線與拋物線方程，求出向量

PA

，

PB

的坐標，根據∠PDB為鈍角，則

PA

•

PB

＜0，可構造關于k的不等式，進而得到直線l斜率的取值范圍．

解答：解：（1）∵動圓過定點P（0，1），且與定直線y=-1相切
故圓心到點P（0，1）的距離等于半徑，
且圓心到直線y=-1的距離等于半徑，
即圓心到定點P（0，1），及定直線y=-1的距離相等
圓心軌跡M是以P（0，1）為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，
故它的方程是x²=4y------------------------------------------------5′
（2）直線l過點Q（0，-1），且以

a

=(-1，-k)為方向向量，所以直線方程為y=kx-1，
代入x²=4y得x²-4kx+4=0，
由△=16k²-4×1×4＞0得k＜-1，或k＞1①-------------------------------------7′
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=4
所以

PA

=(x1，y1-1)，

PB

=(x2，y2-1)，∵∠PDB為鈍角，∴

PA

•

PB

＜0
即x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0------------------------------------------------------------------10′
即4（1+k²）-2k×4k+4＜0，解得k＜-

2

，或k＞

2

②------------------------------12′
由①②得k＜-

2

，或k＞

2

-------------------------------------------------------------------------14′

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，數量積表示兩個向量的夾角，軌跡方程，其中根據已知求出拋物線的方程是解答本題的關鍵．