Question

已知偶函數y=f（x）滿足：當x≥2時，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x）
（1）求當x≤-2時，f（x）的表達式；
（2）試討論：當實數a、m滿足什么條件時，函數g（x）=f（x）-m有4個零點，且這4個零點從小到大依次構成等差數列．

Answer 1

分析：（1）設x≤-2則-x≥2，代入可得f（-x）=（-x-2）（a+x），結合函數的奇偶性可得答案；
（2）設f（x）-m的零點x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點有4個且均勻分布，分a≤2時，2＜a＜4且m=

3

4

時，a=4時m=1，和a＞4時，m＞1，幾類結合函數的圖象進行討論，綜合可得答案．

解答：解：（1）設x≤-2則-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x），
又∵y=f（x）為偶函數，∴f（-x）=f（x），
所以  f（x）=（-x-2）（a+x）…（3分）
（2）設f（x）-m的零點從左到右依次為x₁，x₂，x₃，x₄，即y=f（x）與y=m交點有4個，
（Ⅰ）a≤2時，

x1+x2=-2 2x2=x1+x3 x2+x3=0

，解得x1=-

3

2

，x2=-

1

2

，x3=

1

2

，x4=

3

2

，
所以a≤2時，m=f（

1

2

）=

3

4

 …（5分）
（Ⅱ）2＜a＜4且m=

3

4

時，可得(

a

2

-1)2＜

3

4

，解得-

3

+2＜a＜

3

+2，
所以當2＜a＜

3

+2時，m=

3

4

…（7分）
（Ⅲ）當a=4時m=1時，符合題意…（8分）
（IV）a＞4時，m＞1，

x3+x4=2+a 2x3=x2+x4 x2+x3=0

，可解得x4=

6+3a

4

，
此時1＜m＜(

a

2

-1)2，所以 a＞

10+4 7

3

，或a＜

10-4 7

3

（舍去）
故a＞4且a＞

10+4 7

3

時，m=-

3a2-20a+12

16

時存在   …（10分）
綜上：①a＜

3

+2時，m=

3

4

；
②a=4時，m=1
③a＞

10+4 7

3

時，m=-

3a2-20a+12

16

符合題意       …（12分）

點評：本題考查等差關系的確定，涉及函數的奇偶性和函數圖象的應用，屬中檔題．