Question

【題目】已知都是各項不為零的數列，且滿足其中是數列的前項和，是公差為的等差數列．

（1）若數列是常數列，，，求數列的通項公式；

（2）若是不為零的常數），求證：數列是等差數列；

（3）若（為常數，），．求證：對任意的恒成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

(1)根據,可求得,再根據是常數列代入根據通項與前項和的關系求解即可.

(2)取,并結合通項與前項和的關系可求得再根據化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.

(3)由(2) 當時,,代入所給的條件化簡可得,進而證明可得,即數列是等比數列.繼而求得,再根據作商法證明即可.

解：

．

是各項不為零的常數列,

則,

則由,

及得,

當時,,

兩式作差,可得．

當時,滿足上式,

則；

證明：,

當時,,

兩式相減得：

即．

即．

又,

,

即．

當時,,

兩式相減得：．

數列從第二項起是公差為的等差數列．

又當時,由得,

當時,由,得．

故數列是公差為的等差數列；

證明：由,當時,

,即,

,

,即,

即

,

當時,即．

故從第二項起數列是等比數列,

當時,．

．

另外,由已知條件可得,

又,

,

因而．

令,

則．

故對任意的恒成立．