Question

已知f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

-

1

2

（1）求函數的單調遞增區間
（2）當x∈[0，

5π

3

]時，求函數f（x）的最大值和最小值，并指出相應x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式與輔助角公式將f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

-

1

2

化為f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)，可求函數的單調遞增區間；
（2）由x∈[0，

5π

3

]可求(

x

2

+

π

6

)∈[

π

6

，π]，利用y=sinx的單調性即可求得f（x）的最大值和最小值及相應x的取值．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

-

1

2

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=sin(

x

2

+

π

6

)，
∴由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得：4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，（k∈Z）
∴函數的單調遞增區間為：[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]；
（2）∵0≤x≤

5π

3

，
∴

π

6

≤ 

x

2

+

π

6

≤π，
∴0≤f（x）≤1，當x=

5π

3

時，f(x)min=0；當x=

2π

3

時，f(x)max=1．

點評：本題考查三角函數的性質，重點考查倍角公式，輔助角公式的應用，正弦函數的單調性與最值，屬于中檔題．