Question

(本題滿分14分) 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為a，前n項(xiàng)和為S_n．
(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 證明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

(Ⅰ) 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則S_n＝na＋，
S₁＝a，S₂＝2a＋d，S₄＝4a＋6d．由于S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，因此
＝S₁S₄，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．
(1) 當(dāng)d＝0時(shí)，a_n＝a；
(2) 當(dāng)d＝2a時(shí)，a_n＝(2n－1)a．                 …………6分
(Ⅱ) 證明：采用反證法．不失一般性，不妨設(shè)對(duì)某個(gè)m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2構(gòu)成等比數(shù)列，即．因此
a²＋mad＋m(m＋1)d²＝0，     ①
(1) 當(dāng)d＝0時(shí)，則a＝0，此時(shí)S_m＝S_m＋1＝S_m＋2＝0，與等比數(shù)列的定義矛盾；
(2) 當(dāng)d≠0時(shí)，要使數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a存在，必有①中的Δ≥0．
然而
Δ＝(md)²－2m(m＋1)d²＝－(2m＋m²)d²＜0，矛盾．
綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不構(gòu)成等比數(shù)列

略