Question

已知斜率為1的直線l與雙曲線C：（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M(1，3)，
(Ⅰ)求C的離心率；
(Ⅱ)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|·|BF|=17，證明：過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題設(shè)知，l的方程為：y=x+2，
化入C的方程，并化簡(jiǎn)，得(b²-a²)x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
設(shè)B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
則，①
由M(1，3)為BD的中點(diǎn)知，
故，即b²=3a²，②
故，所以C的離心率。
(Ⅱ)由①、②知，C的方程為：3x²-y²=3a²，
A(a，0)，F(xiàn)(2a，0)，x₁+x₂=2，x₁·x₂=，
故不妨設(shè)x₁≤-a，x₂≥a，
，
，
|BF|·|FD|=(a-2x₁)(2x₂-a)=-4x₁x₂+2a(x₁+x₂)-a²=5a²+4a+8，
又|BF|·|FD|=17，
故5a²+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），
故，
連結(jié)MA，則由A(1，0)，M(1，3)知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，
且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切．
所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．