Question

直線l是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右準線，以原點為圓心且過雙曲線的頂點的圓，被直線l分成弧長為2：1的兩段圓弧，則該雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：根據圓被分成的兩段圓弧的弧長比為2：1，可以求出兩個交點與圓心構成的圓心角為120度，根據對稱性，在第一象限的交點A原點O所構成直線的傾斜角為60度，記右準線與x軸的交點為B． 則可根據

|OB|

|OA|

cos60°求得a和c的關系，進而求得離心率e．

解答：解：c²=a²+b²
由于圓被分成的兩段圓弧的弧長比為2：1，
所以可以求出兩個交點與圓心構成的圓心角為120°，
根據對稱性，在第一象限的交點A原點O所構成直線的傾斜角為60°
記右準線與x軸的交點為B．
所以

|OB|

|OA|

=

a2 c

a

=

a

c

=cos60°=

1

2

所以e=

c

a

=2．
故答案為2．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生對基礎知識的熟練程度．