Question

若關于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集為空集，則實數a的取值范圍為（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（-∞，-1）
D．（-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：依題意，關于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集為空集?a²+a+1＞|x-1|-|x-2|恒成立，構造函數f（x）=|x-1|-|x-2|，可求其最大值，從而可解關于a的不等式即可．
解答：解：∵|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集為空集，
∴a²+a+1＞|x-1|-|x-2|恒成立，
構造函數f（x）=|x-1|-|x-2|=，
則a²+a+1＞f（x）_max，
∵f（x）_max=1，
∴a²+a+1＞1，
∴a²+a＞0，解得a＞0或a＜-1．
∴實數a的取值范圍為（-∞，-1）∪（0，+∞）
故選D．
點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查函數恒成立問題，突出等價轉化思想的應用與一元二次不等式的解法的考查，屬于中檔題．