Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）若AC=BD，求證：四邊形EFGH是菱形；
（3）當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

解：（1）證明：在△ABC中，E、F分別是邊AB、BC中點，
所以EF∥AC，且EF=AC，
同理有GH∥AC，且GH=AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
故四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）證明：仿（1）中分析，EH∥BD且EH=BD，
若AC=BD，則有EH=EF，
又因為四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是菱形．
（3）當AC=BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH是正方形．
分析：（1）在△ABC中，E、F分別是邊AB、BC中點，得到EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=AC，得到四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，再由AC=BD，得出EH=EF，從而證得四邊形EFGH是菱形．
（3）由（2）且對角線相等，推知四邊形EFGH是正方形．
點評：本題主要在空間幾何體中考查平面圖形的定義．