Question

設P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n≥3，n∈N)是二次曲線C上的點，且a₁＝|OP₁|²，a₂＝|OP₂|²，…，a_n＝|OP_n|²構成了一個公差為d(d≠0)的等差數列，其中O是坐標原點．記S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n．

(1)若C的方程為－y²＝1，n＝3．點P₁(3，0)及S₃＝162，求點P₃的坐標；(只需寫出一個)

(2)若C的方程為y²＝2px(p≠0)．點P₁(0，0)，對于給定的自然數n，證明：(x₁＋p)²，(x₂＋p)²，…，(x_m＋p)²成等差數列；

(3)若C的方程為＋＝1(a＞b＞0)．點P₁(a，0)，對于給定的自然數n，當公差d變化時，求S_n的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)a1＝|OP1|2＝9，由S3＝(a1＋a3)＝162，得a3＝|OP3|3＝99． 　　由得 　　∴點P3的坐標可以為(3，3)． 　　(2)對每個自然數k，1≤k≤n，由題意|OPk|2＝(k－1)d，及 　　得xk2＋2pxk＝(k－1)d． 　　∴xk2＋2pxk＝(k－1)d， 　　即(xk＋p)2＝p2＋(k－1)d， 　　∴(x1＋p)2，(x2＋p)2，…，(xn＋p)2是首項為p2，公差為d的等差數列． 　　(3)解法一：原點O到二次曲線C：＋＝1(a＞b＞0)上各點的最小距離為b，最大距離為a． 　　∵a1＝|OP1|2＝a2，d＜0，且an＝|OPn|2＝a2＋(n－1)d≥b2， 　　∴≤d＜0．∵n≥3，＞0 　　∴Sn＝na2＋d在[，0)上遞增， 　　故Sn的最小值為na2＋·＝． 　　解法二：對每個自然數k(2≤k≤n)，由 　　解得yk2＝． 　　∵0＜yk2≤b2，得≤d＜0 　　∴≤d＜0 　　以下與解法一相同．