Question

設M是由滿足下列兩個條件的函數f（x）構成的集合：
（1）方程f（x）-1=0有實數解；
（2）函數f（x）的導數f'（x）滿足0＜f'（x）＜2，給出如下函數：
①f（x）=x+sinx；
②；
③f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2^x．
其中是集合M中的元素的有________．（只需填寫函數的序號）

Answer 1

解：①∵f（x）=x+sinx，∴由f（x）-1=0，得x-1+sinx=0
分別做出函數y=x-1和y=sinx的圖象知，二者有一個交點，
∴方程f（x）-1=0有實數解．即條件（1）成立．
∵f'（x）=1-cosx，-1≤cosx≤1，
∴0≤f（x）≤2，即條件（2）不成立．
故①不是集合M中的元素．
②∵，
∴由f（x）-1=0，得x+tanx-1=0，
分別做出函數y=x-1和y=tanx的圖象知，二者有一個交點，
∴方程f（x）-1=0有實數解．即條件（1）成立．
∵f'（x）=1+，∴條件（2）不成立．
故②不是集合M中的元素．
③∵f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞），
∴由f（x）-1=0，得x+log₃x-1=0，
分別做出函數y=x-1和y=log₃x的圖象知，二者有兩個交點，
∴方程f（x）-1=0有實數解．即條件（1）成立．
∵，∴條件（2）成立．
故③是集合M中的元素．
④∵f（x）=x+2^x．∴由f（x）-1=0，得x+2^x-1=0，
分別做出函數y=x-1和y=2^x的圖象知，二者有一個交點，
∴方程f（x）-1=0有實數解．即條件（1）成立．
∵f'（x）=1+2^xln2，∴條件（2）不成立．
故④不是集合M中的元素．
故答案為③．
分析：條件（1）可以利用函數的零點判斷根的問題，條件（2）先求出每一個函數導數，后可以代入特殊值進行檢驗篩選．
點評：本題考查導數的運算，解題時要認真審題，注意零點的運用．